निश्चित समाकल $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना फलन $f :[0,2] \rightarrow R$ इस प्रकार परिभाषित है $f(x)=\begin{cases} e^{\min \{x^2, x-[x]\}}, & x \in[0,1) \\ e^{[x-\log_e x]}, & x \in[1,2] \end{cases}$ जहाँ $[t]$,$t$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है। तो समाकलन $\int_0^2 x f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $x \in R$ के लिए,$S_0(x) = x$,$S_k(x) = C_k x + k \int_0^x S_{k-1}(t) dt$,जहाँ $C_0 = 1$,$C_k = 1 - \int_0^1 S_{k-1}(x) dx$,$k = 1, 2, 3, \ldots$. तो $S_2(3) + 6C_3$ का मान $...........$ है।

$\int_{1}^{3} \left(\frac{x^{2}+1}{4x}\right)^{-1} dx = $ . . . . . . .

निश्चित समाकलन $\int_{1}^{2} \frac{5 x^{2}}{x^{2}+4 x+3} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\lim _{c \rightarrow 0} \int_c^x \frac{b t \cos 4 t - a \sin 4 t}{t^2} d t = \frac{a \sin 4 x}{x} - 1$. $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।